[ Pobierz całość w formacie PDF ]
pojęcia liczby rozmytej ma na celu dostarczenie odpowiednich narzędzi do
zastosowań logiki rozmytej. Pierwszym działem matematyki, który w na-
turalny sposób już korzysta z logiki i teorii zbiorów rozmytych, jest teoria
sterowania. Odpowiednio wyposażeni w aparat algebraiczny (strukturę al-
gebraiczną), w którym rachunek na liczbach rozmytych niewiele się różni od
klasycznego rachunku na liczbach rzeczywistych, mamy potencjalnie dużo
większe pole do zastosowań niż z poprzednią strukturą, bazującą na niedo-
skonałym rachunku przedziałowym wypukłych liczb rozmytych. Już nawet
elementarny problem Cauchy ego dla zwyczajnego równania różniczkowego
w Rn:
(33) ‹ (t) = F (x, t), z warunkiem poczÄ…tkowym x(0) = x0,
ma swoje bezpośrednie przełożenie na równanie różniczkowe w algebrze liczb
rozmytych. W miejsce zmiennej zależnej x z Rn poszukuje się zmiennej
o wartościach w Rn, co oznacza, że równanie (33) rozpatrujemy w 2n-
krotnym produkcie przestrzeni Banacha C([0, 1]). Pierwsze zastosowania
tego podejścia do sterowania obiektami fizycznymi są właśnie opracowy-
wane w przygotowywanej rozprawie doktorskiej drugiego autora.
Na koniec wypada wspomnieć o stworzonych użytecznych narzędziach li-
czenia posługujących się algebrą skierowanych liczb rozmytych. Ostatnio zo-
stała zaimplementowana, przez jednego z naszych współpracowników R. Ko-
leśnika, w środowisku Windows i w języku C++, programowa platforma
w postaci tzw. kalkulatora rozmytego zCalc. W [18], [28] zaprezentowano
jej główne moduły i możliwości. Platforma jest wyposażona w moduł gra-
ficzny o nazwie zWinCalc. Implementacja daje możliwość bezpośredniego
wyznaczania i śledzenia na wykresach wyników podstawowych czterech ope-
racji algebraicznych na skierowanych liczbach rozmytych. Liczby te mogÄ…
być podane w postaci przepisów na kształt relacji przynależności, a także
w sposób graficzny, przez zaznaczenie w prostokątnym układzie współrzęd-
Algebra liczb rozmytych 61
nych (na ekranie) punktów, przez które krzywa relacji winna przechodzić.
Odpowiedni moduł dokonuje interpolacji wielomianami Lagrange a. Same
wyliczenia odbywajÄ… siÄ™ bez interpolacji czy aproksymacji: wykonuje siÄ™ je
na funkcjach, tj. przepisach określających kształty odpowiednich krzywych.
W ten sposób jesteśmy na tym etapie uniezależnieni od jakiegokolwiek błędu
aproksymacji (czy dokładności obliczeniowej sprzętu, na którym wyznacza
się wyniki operacji). Dopiero do wyświetlenia na ekranie wyników obliczeń
stosuje się narzędzia aproksymacyjne.
Programowa implementacja zCalc została dokonana w ten sposób, że
może być użyta przez programistę tworzącego oprogramowanie aplikacyjne
jako zewnętrzny moduł obliczeniowy: komunikacja między kalkulatorem
a głównym programem aplikacji odbywa się na zasadzie przesyłania plików
tekstowych.
Jednocześnie w odpowiednim module, korzystając z prostego języka
i jego interpretera, użytkownik może zdefiniować własne operacje, funkcje
na zmiennych, jakimi są skierowane liczby rozmyte. Daje to dodatkowe wła-
sności aplikacyjne tego narzędzia programistycznego.
Podziękowanie. Praca nad tym artykułem była przeprowadzona w ra-
mach relizacji projektu badawczego KBN No. 4 T11C 038 25.
English summary. An algebra of ordered fuzzy numbers (OFN) is defined. It enables
handling fuzzy inputs in a quantitative way, exactly in the same way as for real numbers.
Additional two structures: algebraic and normed (topological) are introduced, which makes
it possible to define a general form of defuzzyfication operators if fuzzy rules are used in
a decision process. A useful implementation of a Fuzzy Calculator is given which allows
counting with OFNs of general type membership relations.
Literatura
[1] J. Aukasiewicz, Elementy logiki matematycznej, Koło Matematyczno-Fizyczne Słu-
chaczów Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa, 1929; II wyd., PWN, Warszawa,
1958.
[2] E. Czogała, W. Pedrycz, Elementy i metody teorii zbiorów rozmytych, PWN, War-
szawa, 1985.
[3] D. Dubois, H. Prade, Operations on fuzzy numbers, Int. J. System Science 9 (1978),
576 578.
[4] R. E. Moore, Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM Press, Philadel-
phia, PA, 1979.
[5] D. Dubois, H. Prade, Ranking fuzzy numbers in the setting of possibility theory, In-
formation Sciences 30 (1983), 183 224.
[6] J. Kacprzyk, Zbiory rozmyte w analizie systemowej, PWN, Warszawa, 1986.
[7] G. J. Klir, Fuzzy arithmetic with requisite constraints, Fuzzy Sets and Systems 91
(1997), 165 175.
[8] G. C. Chen, Pham Trung Tat, Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems,
CRS Press, Boca Raton, 2001.
62 W. Kosiński, P. Prokopowicz
[9] W. Kosiński, K. Piechór, P. Prokopowicz, K. Tyburek, On algorithmic approach to
operations on fuzzy numbers, w: Methods of Artificial Intelligence in Mechanics and
[ Pobierz całość w formacie PDF ]